数学分析2020FALL_期末复习笔记

内容纲要

上次准备开始复习的时候已经快要考试了,因此应对得非常匆忙。
于是这次我会提前按章更新提纲,供自己方便复习的同时,也能让大家多一些可以参考的资料。
预定每周日晚会更新一些内容和题目。

考试范围

  • 《数学分析简明教程(上册)》柯西准则到积分结论、上下极限。(除去“可积性理论”)

几道例题

闭区间套证明致密性定理

致密性定理

有界数列必有收敛的子列

证明

对一个有界数列{S_n},记它的一个下界为a,一个上界为b,则S_n \in [a, b]。在[a, \frac{a+b}{2} ][ \frac{a+b}{2} , b]中,必存在一个区间含有{S_n}中的无限项;
不妨设区间[a, \frac{a+b}{2} ]中存在{S_n}中的无限项,从中取一项S_t,记为S'_1,令m = \frac{a+b}{2},则在[a, \frac{a+m}{2} ][ \frac{a+m}{2} , m]中,必存在一个区间含有{S_n}中的无限项;
不妨设区间[a, \frac{a+m}{2} ]中存在{S_n}中的无限项,从中取一项S_{t'}(t'>t),记为S'_2
将区间无限地二分下去,可以得到一个闭区间套{[ a_n , b_n ]}与数列{S'_n},那么\exist \xi \in [a_n, b_n],对每个n\in N,有\lim\limits_{n \to \infty} S'_n = \xi

第六章

费马定理

若函数f在点x_0处可导,且x_0f的极值点,则f'(x_0) = 0

极值的第一充分条件

f在点x_0处连续,在(x_0- \delta , x_0 + \delta )上可导;
(i) 若当x \in (x_0 - \delta )时,f'(x) \geqslant 0,则fx_0点取极小值;
(ii) 若当x \in (x_0 - \delta )时,f'(x) \leqslant 0,则fx_0点取极大值;

极值的第二充分条件

fx_0某邻域(x_0- \delta , x_0 + \delta )上一阶可导,在x=x_0处二阶可导,且f'(x_0)=0, f''(x_0) \neq 0
(i) 若f''(x_0) < 0,则fx_0取得极大值;
(ii) 若f''(x_0) > 0,则fx_0取得极小值;

极值的第三充分条件

fx_0的某邻域内存在直到n-1阶导函数,在x_0处n阶可导,且f^k(x_0) = 0 (k=1,2,···,n-1), f^n(x_0) \neq 0,则
(i) 当n为偶数时,fx_0取得极值,且当f^n(x_0) < 0时取极大值,f^n(x_0) > 0时取极小值;
(ii) 当n为奇数时,fx_0处不取极值。

函数的凸性定义

1.设f为定义在区间I的函数,若对I上的任意两点x_1,x_2和任意的实数\lambda \in (0,1),总有
f(\lambda x_1 + (1- \lambda )x_2) \leqslant \lambda f(x_1) + (1 - \lambda )f(x_2), (1)
则称fI的凸函数,反之,如果总有
f(\lambda x_1 + (1- \lambda )x_2) \geqslant \lambda f(x_1) + (1 - \lambda )f(x_2), (2)
则称fI上的凹函数。
如果(1)(2)中的不等式改为严格不等式,则相应的函数成为严格凸函数和严格凹函数。

函数为凸函数的充要条件

引理:函数f为凸函数的充要条件是:对于区间I上的任意三点x_1 < x_2< x_3总有
\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2 - x_1} \leqslant \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3 - x_2}

三个等价论断

设函数f为区间I上的可导函数,则下述论断互相等价:

  1. fI上的凸函数;
  2. f'I上的增函数;
  3. I上任意两点x_1, x_2,有f(x_2) \geqslant f(x_1) + f'(x_1)(x_2 - x_1)

二阶可导函数凸性的充要条件

f为区间I上的二阶可导函数,则在If为凸函数的充要条件是
f''(x) \geqslant 0, x \in I.

拐点的定义

设曲线y=f(x)在点(x_0, f(x_0))处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的,这时称此点为曲线的拐点。

函数上某一点为拐点的必要条件

fx_0处二阶可导,则点(x_0, f(x_0))为曲线拐点的必要条件是f''(x) = 0.

函数上某一点为拐点的充分条件

fx_0可导,在x_0某邻域上二阶可导,若在x_0左右两侧的邻域上f''(x)符号相反,则此点为曲线的拐点。

詹森不等式

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