上次准备开始复习的时候已经快要考试了，因此应对得非常匆忙。
于是这次我会提前按章更新提纲，供自己方便复习的同时，也能让大家多一些可以参考的资料。
预定每周日晚会更新一些内容和题目。

考试范围

• 《数学分析简明教程（上册）》柯西准则到积分结论、上下极限。（除去“可积性理论”）

几道例题

闭区间套证明致密性定理

致密性定理

有界数列必有收敛的子列

证明

对一个有界数列{S_n}，记它的一个下界为a，一个上界为b，则S_n \in [a, b]。在[a, \frac{a+b}{2} ]与[ \frac{a+b}{2} , b]中，必存在一个区间含有{S_n}中的无限项；
不妨设区间[a, \frac{a+b}{2} ]中存在{S_n}中的无限项，从中取一项S_t，记为S'_1，令m = \frac{a+b}{2}，则在[a, \frac{a+m}{2} ]与[ \frac{a+m}{2} , m]中，必存在一个区间含有{S_n}中的无限项；
不妨设区间[a, \frac{a+m}{2} ]中存在{S_n}中的无限项，从中取一项S_{t'}(t'>t)，记为S'_2；
将区间无限地二分下去，可以得到一个闭区间套{[ a_n , b_n ]}与数列{S'_n}，那么\exist \xi \in [a_n, b_n]，对每个n\in N，有\lim\limits_{n \to \infty} S'_n = \xi。

第六章

费马定理

若函数f在点x_0处可导，且x_0为f的极值点，则f'(x_0) = 0。

极值的第一充分条件

设f在点x_0处连续，在(x_0- \delta , x_0 + \delta )上可导；
(i) 若当x \in (x_0 - \delta )时，f'(x) \geqslant 0，则f在x_0点取极小值；
(ii) 若当x \in (x_0 - \delta )时，f'(x) \leqslant 0，则f在x_0点取极大值；

极值的第二充分条件

设f在x_0某邻域(x_0- \delta , x_0 + \delta )上一阶可导，在x=x_0处二阶可导，且f'(x_0)=0, f''(x_0) \neq 0；
(i) 若f''(x_0) < 0，则f在x_0取得极大值；
(ii) 若f''(x_0) > 0，则f在x_0取得极小值；

极值的第三充分条件

设f在x_0的某邻域内存在直到n-1阶导函数，在x_0处n阶可导，且f^k(x_0) = 0 (k=1,2,···,n-1), f^n(x_0) \neq 0，则
(i) 当n为偶数时，f在x_0取得极值，且当f^n(x_0) < 0时取极大值，f^n(x_0) > 0时取极小值；
(ii) 当n为奇数时，f在x_0处不取极值。

函数的凸性定义

1.设f为定义在区间I的函数，若对I上的任意两点x_1,x_2和任意的实数\lambda \in (0,1)，总有
f(\lambda x_1 + (1- \lambda )x_2) \leqslant \lambda f(x_1) + (1 - \lambda )f(x_2)， （1）
则称f为I的凸函数，反之，如果总有
f(\lambda x_1 + (1- \lambda )x_2) \geqslant \lambda f(x_1) + (1 - \lambda )f(x_2)， （2）
则称f为I上的凹函数。
如果（1）（2）中的不等式改为严格不等式，则相应的函数成为严格凸函数和严格凹函数。

函数为凸函数的充要条件

引理：函数f为凸函数的充要条件是：对于区间I上的任意三点x_1 < x_2< x_3总有
\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2 - x_1} \leqslant \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3 - x_2}。

三个等价论断

设函数f为区间I上的可导函数，则下述论断互相等价：

1. f为I上的凸函数；
2. f'为I上的增函数；
3. 对I上任意两点x_1, x_2，有f(x_2) \geqslant f(x_1) + f'(x_1)(x_2 - x_1)。

二阶可导函数凸性的充要条件

设f为区间I上的二阶可导函数，则在I上f为凸函数的充要条件是
f''(x) \geqslant 0, x \in I.

拐点的定义

设曲线y=f(x)在点(x_0, f(x_0))处有穿过曲线的切线，且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的，这时称此点为曲线的拐点。

函数上某一点为拐点的必要条件

若f在x_0处二阶可导，则点(x_0, f(x_0))为曲线拐点的必要条件是f''(x) = 0.

函数上某一点为拐点的充分条件

设f在x_0可导，在x_0某邻域上二阶可导，若在x_0左右两侧的邻域上f''(x)符号相反，则此点为曲线的拐点。

詹森不等式