考试范围

• 《数学分析简明教程（上册）》第一章到第六章第四节。（除去“一致连续”）

考试具体内容和试题形式

叙述并证明一个定理（10分）

叙述并证明课本中以下重要定理中的一个。它们是：

• 数列的单调有界定理
• 致密性定理
• 闭区间上连续函数的有界性定理
• 根的存在定理
• 罗尔微分中值定理
• 拉格朗日微分中值定理

题解：

数列的单调有界定理：

叙述：

单调有界数列必收敛。

证明：

若一个数列单调有界，则此数列或是单调增且有上界的数列，或是单调减且有下界的数列。
这里证明单调增且有上界的情况。
若一个数列有上界，由于数列是非空的，由确界原理，这个数列有上确界，记为sup{a_n}。
然后证明数列收敛于sup{a_n}。
设a=sup{a_n}，据上确界的定义，对任意的\varepsilon > 0，存在a_N，使得a-\varepsilon < a_N；
又因为数列是单调增的，对每个n > N，有a_N \leqslant a_n；
再据上界的定义，对每个a_n，有a_n \leqslant a < a + \varepsilon；
综合上述不等式，可得出数列极限的定义式a - \varepsilon < a_n < a + \varepsilon，由此证得数列收敛于sup{a_n}。
同理，可以证得单调减且有下界的数列收敛于其下确界。

致密性定理

叙述：

有界的数列必有收敛的子列。

证明：

先证明任何数列必有单调的子列。
1) 若对每个正整数k，在由a_{k+n} (n=1,2,...)组成的子列上总能取到最大值，则：
先取数列的最大值，记为a_{n_1}；
由假设，可以取到数列与{a_1,...,a_{n_1}}的差集元素构成的新数列的最大值，记为a_{n_2}，显然有n_2 > n_1；
由假设，可以取到数列与{a_1,...,a_{n_2}}的差集元素构成的新数列的最大值，记为a_{n_3}，显然有n_3 > n_1；
由假设，总能取到数列与{a_1,...,a_{n_k}}的差集元素构成的新数列的最大值，记为a_{n_k}，显然有n_k > n_{k-1}；
至此，由元素a_{n_1},a_{n_2},...,a_{n_k},...构成的数列是一个单调递减的数列。
2) 若存在正整数k，在由a_{k+n} (n=1,2,...)组成的子列中没有最大值，则：
设n_1=k+1，由假设，a_{n_1}后面没有最大项，因此存在a_{n_2} > a_{n_1} (n_2>n_1)；
同理，总存在一个项a_{n_{k+1}}，使得a_{n_{k+1}} > a_{n_k} (n_{k+1}>n_k)；
于是得到一个严格单调递增的子列a_{n_1},a_{n_2},...,a_{n_k},...。
由此证得任何数列必有单调的子列。
再由单调有界定理，推得此子列收敛，证毕。

闭区间上连续函数的有界性定理

叙述：

若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则函数f(x)在闭区间[a,b]上有界。

证明：

反证法：假设函数f(x)在闭区间[a,b]上无上界，则存在数列x_n\in [a,b]，使得\lim\limits_{n \to \infty} f(x_n) = +\infty；
另外，由于x_n是有界数列，由致密性定理，存在收敛的子列x_{n_k}，设\lim\limits_{k \to \infty} x_{n_k} = x_0；
由于a \leqslant x_{n_k} \leqslant b，由数列极限的保不等式性质，推得a \leqslant x_0 \leqslant b；
因此，函数f(x)在点x_0处连续。
由归结原则，得出+\infty = \lim\limits_{n \to \infty} f(x_n) = \lim\limits_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)，显然，这个等式是矛盾的。因此函数f(x)在闭区间[a,b]上有界。

根的存在性定理

叙述：

若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则存在\xi \in (a,b)，使得f(\xi ) = 0。

证明：

不妨设f(b)>0,f(a)<0；
设集合E为所有使得f(x)<0的x取值的集合。
因为集合E是非空集合，由x \in [a,b]得，E有上界，再由确界原理可得，E有上确界supE，记为x_0；
有连续函数得局部保号性得知，存在\delta > 0，使得对每个m \in [a,a+ \delta ), n \in (b- \delta , b]，有f(m)<0, f(n)>0，因此x_0 \in (a,b)；
设f(x_0)<0，则由连续函数得局部保号性，存在\delta > 0，对每个x \in [x_0,x_0 + \delta )，有f(x)<0；
特别的，取N=x_0+\frac{\delta }{2}，有f(N)<0，又因为x_0是集合E的上确界，且N \in E，N>x_0，由此得出矛盾；因此f(x_0)=0。

罗尔中值定理

叙述：

若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，f(x)在开区间(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则存在\xi \in (a,b)，使得f'(\xi )=0。

证明：

根据连续函数在闭区间上的最大、最小值定理，必定存在M=max[f(x)]、m=min[f(x)]其中之一或两者；
1) 若M=m=f(a)，则原命题显然成立；
2) 若M>m，则存在\xi \in (a,b)，使得f(\xi )=M或f(\xi )=m，由于f在(a,b)上可导，由费马引理得出f'(\xi )=0。

拉格朗日中值定理

叙述：

若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，f(x)在开区间(a,b)上可导，则存在\xi \in (a,b)，使得f'(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}。

证明：

设g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)，由此得出g(a)=g(b)；
由罗尔中值定理得，存在\xi \in (a,b)，使得g'(\xi )=0；
综合上述等式，可得g'(\xi )=f'(\xi )-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0；
变形得f'(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}。

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其它类型的证明题（10分）

例题题解

（P.76 例4)

题设：

设f在[a,b]上连续，且满足f([a,b])\subset [a,b]；
证明：存在x_0 \in [a,b]，使得f(x_0)=x_0。

证明：

对任何x \in [a,b]，有a \leqslant f(x) \leqslant b，则有a \leqslant f(a), f(b) \leqslant b；
设F(x)=f(x)-x，则F(a)=f(a)-a，F(b)=f(b)-b，F(b) \leqslant 0 \leqslant F(a)；
若F(b)=0或F(a)=0，则取x_0=b或x_0=a，原命题成立；
否则有F(b) < 0 < F(a)，由根的存在定理，存在x_0 \in (a,b)，使得F(x_0) = 0，即f(x_0) = x_0。

（P.80 习题9)

题设：

证明：若f再[a,+\infty ]上连续，且对任何x \in [a,b], f(x) \neq 0，则f在[a,b]上恒正或恒负。

证明：

反证法：
不妨设存在x_1,x_2 \in [a,b] , x_1 < x_2，使得f(x_1)·f(x_2) < 0；
则由根的存在定理导出：
存在\xi \in (x_1,x_2)，使得f( \xi )=0，与题设矛盾；
因此对任何x \in [a,b], f(x) \neq 0，则f在[a,b]上恒正或恒负。

（P.80 习题10）

题设：

证明：任一实系数奇次方程至少有一个实根。

证明：

题设方程可以写成函数形式：
f(x)=a_1x^{2n+1}+a_2x^{2n}+...+a_{2n+1}=0；
由于函数最高次项为奇数次，由初等函数的性质，不妨设最高次项的系数为正，则可以得到：
\lim \limits_{x \to + \infty }f(x) = + \infty；
\lim \limits_{x \to - \infty }f(x) = - \infty；
又由初等函数的连续性质，在自变量趋于正无穷时，存在某一点x_1，使得f(x_1) > 0，在自变量趋于负无穷时，存在某一点x_2，使得f(x_2) < 0，不妨设x_2 < x_1，使得f(x_1)·f(x_2) < 0，再由根的存在定理，得出存在\xi \in (x_2, x_1 )，使得f( \xi ) = 0；证毕。

（P.81 习题15）

题设：

设f(x)在[a, b]上连续，a \leqslant x_1 < x_2 < ... < x_n \leqslant b，证明：存在\xi \in [x_1 , x_n]，使f( \xi )= \frac { f( x_1 ) + f( x_2 )+ ... +f( x_n )}{ n }成立。

证明：

设y_1,y_2 \in [x_1, x_n]，f(y_1) = min{f(x_1), f(x_2),..., f(x_n)}，f(y_2) = max{f(x_1), f(x_2),..., f(x_n)}；
若：
1) f(y_1) = f(y_2)，则函数f在区间[x_1,x_n]上为常值函数，则任取\xi \in [x_1,x_n]，有f( \xi )= \frac { f( x_1 ) + f( x_2 )+ ... +f( x_n )}{ n }成立；
2) f(y_1) < f(y_2)，则有不等式
f(y_1) < \frac { f( x_1 ) + f( x_2 )+ ... +f( x_n )}{ n } < f(y_2)，即\frac { f( x_1 ) + f( x_2 )+ ... +f( x_n )}{ n }的值介于f(y_1)， f(y_2)之间；
不妨设y_1 < y_2，则由介值定理，存在\xi \in (y_1, y_2)，使得f( \xi )= \frac { f( x_1 ) + f( x_2 )+ ... +f( x_n )}{ n }；
因为(y_1, y_2) \subset [x_1, x_n]，原命题成立。

（P.81 习题16）

题设：

设函数f在[0,2a]上连续，且f(0)=f(2a)。证明：\exists x_0 \in [0,a]，使得f(x_0 ) = f(x_0+a)。

证明：

设辅助函数F(x) = f(x+a)-f(x)；
则可以得到等式
F(a) = f(2a) - f(a) = f(0) - f(a) = -[f(a) - f(0)] = -F(0)；
若F(a)=F(0)=0，则显然有f(0)=f(a)，原命题成立；
若不然，则有F(a)·F(0)<0；
由根的存在定理，存在x_0 \in (0,a)，使得F(x_0) = 0，即f(x_0+a) = f(x_0)；
又因为区间(0,a) \subset [0,a]，由此得到原命题成立。

（P.84 习题4）

题设：

设a_1,a_2,a_3是正数，\lambda_1< \lambda_2< \lambda_3。证明：方程\frac {a_1} {x- \lambda_1 }+\frac {a_2}{x- \lambda_2}+\frac{a_3}{x- \lambda_3}=0在区间( \lambda_1 , \lambda_2 )和(\lambda_2 , \lambda_3 )内各有一个根。

题解：

将等式变形，再由根的存在定理证明命题。本题思路较简单，证明书写略复杂，因此不赘述。

（P.84 习题6）

题设：

设f在[a,b]上连续，x_1,x_2, \cdots ,x_n \in [a,b]，另有一组正数\lambda_1 , \lambda_2 , \cdots , \lambda_n满足\sum \lambda_i=1。证明：\exists \xi \in [a,b]，使得f(\xi )= \sum \lambda_if(x_i )。

证明：

不妨设x_1< x_2 < ... < x_n，则可以设y_1, y_2 \in [x_1, x_n]，使得f(y_1) = min{f(x_1), f(x_2),..., f(x_n)}，f(y_2) = max{f(x_1), f(x_2),..., f(x_n)}；
则可以得到不等式\sum \lambda_i·f(y_1) = f(y_1) \leqslant \sum \lambda_if(x_i ) \leqslant \sum \lambda_i·f(y_2) = f(y_2)；
若f(y_1)=f(y_2)，取\xi = y_1，显然有原命题成立；
若不然，不妨设y_1 < y_2，则上述不等式变为f(y_1) < \sum \lambda_if(x_i ) < f(y_2)由介值定理，存在\xi \in (y_1, y_2)，使得f(\xi )= \sum \lambda_if(x_i )，又因为(y_1, y_2) \subset [x_1, x_n] \subset [a,b]，原命题成立。

（P.84 习题8)

题设：

设f在[0,1]上连续，f(0)=f(1)。证明：\forall n \in \mathbb {N}^*, \exists \xi \in [0,1]，使得f( \xi +\frac{1}{n})=f(\xi )。

证明：

构造辅助函数F(x) = f(x+ \frac{1}{n}) - f(x)，然后构造等式F(0)+F(\frac{1}{n})+...+F(\frac{n-1}{n}) = f(\frac{1}{n})-f(0)+f(\frac{2}{n})-f(\frac{1}{n})+...+f(1)-f(\frac{n-1}{n}) = f(1) - f(0) = 0；
1) 若{F(0),F(\frac{1}{n}),...,F(\frac{n-1}{n})}中不存在非零项，则任取\xi \in (0,1)，有f( \xi +\frac{1}{n})=f(\xi ) = 0；
2) 若{F(0),F(\frac{1}{n}),...,F(\frac{n-1}{n})}中存在非零项，设此项为F(y_1)，则由上述等式，至少存在一个与F(y_1)异号的项，设它为F(y_2)；
不妨设y_1 < y_2，则由介值定理，存在\xi \in (y_1, y_2)，使F(\xi ) = 0，即f(\xi + \frac{n-1}{n})=f(\xi )；
又因为(y_1, y_2) \subset [0,1]，原命题成立。

六道其它证明计算判断题（48分）

Todo

八道是非与填空题（32分）

Todo

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概念整理

第一章

确界原理

描述：

有上界的非空集合有上确界；有下界的非空集合有下确界。

推广：

任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的）。

有界函数

描述：

设f为定义在D上的函数，若存在正数M，使得对每一个x \in D，有-M \leqslant f(x) \leqslant M，则称f为D上的有界函数。

第二章

柯西数列极限定义

描述：

设一定数a，对数列{a_n}，若对任意给定的正数\epsilon，总存在正整数N，使得当n>N时有a- \epsilon < a_n < a+ \epsilon，则称数列{a_n}收敛于a，a为数列{a_n}的极限，记为\lim\limits_{n \to \infty}a_n。

有界性

描述：

收敛数列必为有界数列。

保号性

描述：

若\lim\limits_{n \to \infty}a_n > 0，则对任何a' \in (0,a)，存在正数N，使得当n>N时，有a_n > a'。
小于0的情况类似。

注：

在应用保号性时，常常取a' = \frac{a}{2}。

收敛的充要条件

描述：

数列收敛的充要条件是：数列的任何子列都收敛。

第三章

归结原则

描述：

设f在x_0附近的空心邻域U^o有定义，\lim\limits_{x \to x_0}f(x)存在的充要条件是：对任何包含于U^o且以x_0为极限的数列{x_n}，极限\lim\limits_{n \to \infty}f(x_n)都存在且相等。

说辞：

（求出函数极限）由归结原则得（数列极限）。

等价无穷小常用式

注：以下代换只适用于x \to 0时的乘除法替换，加减法无法单独替换。
sinx ~ x ~ tanx ~ arcsinx ~ arctanx；
1-cosx ~ \frac{1}{2}x^2 ~ secx - 1 ~ x - ln(1+x)；
a^x - 1 ~ xlna；
ln(1+x) ~ x；
(1+bx)^a - 1 ~ abx；
log_a(1+x) ~ \frac{x}{lna}；
tanx - sinx ~ \frac{x^3}{2}；
tanx - x ~ x - arctanx ~ \frac{x^3}{3}；
x - sinx ~ arcsinx - x ~ \frac{x^3}{6}。

特别注意的：

\lim\limits_{x \to 0}\frac{a'}{b'} = -1，则加减法无法替换。（此条待验证）

第五章

容易忽略的几个点

反函数的求导法则；
对数求导法则；
参变量函数的求导法则；
近似计算；
误差估计；

第六章

达布定理

若函数f在[a,b]上可导，且f_+'(a) \neq f_-'(b)，k为介于f_+'(a)，f_-'(b)之间的任一实数，则至少存在一点\xi \in (a,b)，使得f'(\xi )=k。

极值判别

基本方法是求二阶导，判断正负号。

最值判别

求一阶导的零点以及端点，分别计算出函数值。