内容纲要
无穷级数
数项级数
数项级数的概念:设一列数x_1, x_2,...,x_n,...
是无穷可列个实数,则它们的和,即x_1+x_2+...+x_n+...
称为级数,记作\sum x_n
,它的部分和数列记作{S_n}
,S_n = x_1+x_2+...+x_n
。
数项级数收敛:若数列{S_n}
收敛于某个定数S
,则\sum x_n
收敛于S
,记作\sum x_n = S
。
注:发散同理。
多元函数的极限与连续
平面点集与多元函数
坐标平面上满足某种条件P
的点的集合称为平面点集,记作
E=\{(x,y)|(x,y)满足条件P\}
例如全平面的点组成的点集为
R^2=\{(x,y)|x\in R, y \in R\}
P93 证明:对任何S \sub R^2
,\partial S
恒为闭集.
证: 设x_0为\partial S
的任一聚点,要证明x_0 \in \partial S
。任给\epsilon >0
,由聚点定义,存在y \in U^o(x_0;\epsilon ) \bigcap \partial S
。又因为y
是S
的界点,所以对任意U(y;\delta ) \sub U(x_0;\epsilon )
,U(y;\delta )
上既有S
的点,又有非S
的点。于是U(x_0;\epsilon )
上也有上述性质。即x_0 \in \partial S
。证毕。